24 Laboratórios Quânticos Interativos — Mecânica Quântica

Lab #1 • Chapter 1 • Mode A: Exact Analytical ModelLab #1 • Capítulo 1 • Modo A: Modelo Analítico Exato

Lab 1 — Quantum Scale, de Broglie Wavelength & Atomic Units Converter Lab 1 — Escala Quântica, Comprimento de Onda de de Broglie e Conversor de Unidades Atómicas

Learning ObjectiveObjetivo de Aprendizagem Connect Hartree ($\text{E}_\text{h}$) and Bohr ($a_0$) to chemical bond energies ($\text{kcal/mol}, \text{kJ/mol}$) and spectroscopic wavenumbers ($\text{cm}^{-1}$). Relacionar o Hartree ($\text{E}_\text{h}$) e o Bohr ($a_0$) com energias de ligação química ($\text{kcal/mol}, \text{kJ/mol}$) e números de onda espetroscópicos ($\text{cm}^{-1}$).

Mathematical Model & UnitsModelo Matemático e Unidades $e = m_e = \hbar = 4\pi\varepsilon_0 = 1;\; 1\text{ E}_\text{h} = 27.211386\text{ eV} = 627.5095\text{ kcal/mol} = 2625.50\text{ kJ/mol}$

🎯 O Que Se Pretende Fazer Neste Simulador e Porquê What This Simulator Does & Why It Matters

Objetivo: Converter rapidamente energias entre Unidades Atómicas de Hartree ($\text{E}_\text{h}$) e unidades de laboratório ($\text{kcal/mol}, \text{kJ/mol}, \text{eV}, \text{cm}^{-1}$) e verificar o impacto termodinâmico a $298.15\text{ K}$. Goal: Rapidly convert energies between Hartree atomic units ($\text{E}_\text{h}$) and laboratory units ($\text{kcal/mol}, \text{kJ/mol}, \text{eV}, \text{cm}^{-1}$) and check the thermodynamic impact at $298.15\text{ K}$.

Energy in Hartree ($\text{E}_\text{h}$)Energia em Hartree ($\text{E}_\text{h}$)

ℹ️ Explicação deste seletor / controlo (clique para abrir)ℹ️ Explanation of this selector / control (click to open)

O que controla: Introduz uma energia ou diferença de energia diretamente em Hartrees ($\text{E}_\text{h}$) para converter para $\text{kcal/mol}$, $\text{kJ/mol}$, $\text{eV}$ e $\text{cm}^{-1}$.What it controls: Enters an energy or energy difference directly in Hartrees ($\text{E}_\text{h}$) to convert into $\text{kcal/mol}$, $\text{kJ/mol}$, $\text{eV}$, and $\text{cm}^{-1}$.

Chemical Reference PresetPredefinição de Referência Química

ℹ️ Explicação deste seletor / controlo (clique para abrir)ℹ️ Explanation of this selector / control (click to open)

O que faz este seletor: Carrega valores de referência em Hartrees (Precisão Química de $1\text{ kcal/mol} = 0.001594\text{ E}_\text{h}$, energia térmica $RT$ ou energia de ionização do Hidrogénio $0.500\text{ E}_\text{h}$).What this selector does: Loads benchmark Hartree values ($1\text{ kcal/mol} = 0.001594\text{ E}_\text{h}$ Chemical Accuracy, thermal energy $RT$, or Hydrogen ionization $0.500\text{ E}_\text{h}$).

Hartree (E_h)

0.01594 Eh

kcal / mol

10.00 kcal/mol

kJ / mol

41.84 kJ/mol

Electronvolt (eV)Eletrão-volt (eV)

0.4336 eV

Wavenumber (cm⁻¹)Número de onda (cm⁻¹)

3497.5 cm⁻¹

Lab #5 • Chapter 5 • Mode A: Exact Analytical ModelLab #5 • Capítulo 5 • Modo A: Modelo Analítico Exato

Lab 5 — 1D Particle-in-a-Box: Wavefunction Amplitude $\psi_n(x)$ vs. Probability Density $|\psi_n(x)|^2$ Lab 5 — Partícula na Caixa 1D: Amplitude da Função de Onda $\psi_n(x)$ vs. Densidade de Probabilidade $|\psi_n(x)|^2$

🔮 Step 1 — Predict Before Observing:Passo 1 — Prever Antes de Observar:

If you double the box length $L$ from $5.0\text{ Å}$ to $10.0\text{ Å}$ at fixed quantum number $n=2$, how will the energy $E_2$ and the number of internal nodes change? Se duplicar o comprimento da caixa $L$ de $5,0\text{ Å}$ para $10,0\text{ Å}$ mantendo fixo $n=2$, como mudarão a energia $E_2$ e o número de nós internos?

🎯 O Que Se Pretende Fazer Neste Simulador e Porquê What This Simulator Does & Why It Matters

Objetivo: Observar como o confinamento espacial de uma partícula-onda dentro de uma caixa de tamanho $L$ obriga a energia a saltar em degraus discretos ($E_n \propto n^2/mL^2$), cria nós onde $\psi_n(x)=0$ e garante uma Energia de Ponto Zero $E_1 > 0$. Experimente variar $n$, $L$ e a massa $m$ para ver a ligação direta à cor dos polienos conjugados! Goal: Observe how spatial confinement of a matter wave inside a box of length $L$ forces energy into discrete rungs ($E_n \propto n^2/mL^2$), creates nodes where $\psi_n(x)=0$, and enforces a non-zero Zero-Point Energy $E_1 > 0$. Vary $n$, $L$, and mass $m$ to see the direct link to conjugated polyene colors!

Quantum Number $n$Número Quântico $n$1

ℹ️ Explicação deste seletor / controlo (clique para abrir)ℹ️ Explanation of this selector / control (click to open)

O que controla: Escolhe o número quântico principal $n = 1, 2, 3, \dots$ (o harmónico da onda estacionária na caixa).
O que observar: Cada aumento de $n$ adiciona mais meia-onda dentro da caixa, cria $n - 1$ nós internos (pontos onde $\psi_n = 0$) e faz a energia subir quadraticamente ($E_n \propto n^2$) devido à maior curvatura $\nabla^2\psi$.What it controls: Selects the principal quantum number $n = 1, 2, 3, \dots$ (the harmonic of the standing wave in the box).
What to observe: Increasing $n$ fits an extra half-wavelength inside the box, creates $n - 1$ internal nodes (where $\psi_n = 0$), and raises the energy quadratically ($E_n \propto n^2$) due to higher curvature $\nabla^2\psi$.

Box Length $L$ ($\text{ Å}$)Largura da Caixa $L$ ($\text{ Å}$)5.0 Å

ℹ️ Explicação deste seletor / controlo (clique para abrir)ℹ️ Explanation of this selector / control (click to open)

O que controla: Altera o comprimento $L$ (em $\text{Å}$) da caixa 1D onde a partícula está confinada (ex.: comprimento de um polieno conjugado).
O que observar: Como $E_n \propto 1/L^2$, alargar a caixa aproxima os níveis de energia e desloca a absorção $\text{HOMO}\to\text{LUMO}$ para comprimentos de onda maiores (efeito batocrómico nos corantes e no $\beta$-caroteno).What it controls: Changes the length $L$ (in $\text{Å}$) of the 1D box confining the particle (e.g., the length of a conjugated polyene chain).
What to observe: Because $E_n \propto 1/L^2$, widening the box compresses the energy spacing and shifts the $\text{HOMO}\to\text{LUMO}$ absorption toward longer wavelengths (red shift in dyes and $\beta$-carotene).

Particle MassMassa da Partícula

ℹ️ Explicação deste seletor / controlo (clique para abrir)ℹ️ Explanation of this selector / control (click to open)

O que faz este seletor: Alterna a massa $m$ da partícula confinada entre um eletrão ($1\,m_e$), um protão ($1836\,m_e$) e um deuterão ($3670\,m_e$).
Porquê experimentar: Como a massa está no denominador ($E_n = n^2 h^2 / 8mL^2$), partículas pesadas têm níveis muito mais juntos e menor energia de ponto zero $E_1$.What this selector does: Switches the confined particle's mass $m$ between an electron ($1\,m_e$), a proton ($1836\,m_e$), and a deuteron ($3670\,m_e$).
Why experiment with it: Since mass sits in the denominator ($E_n = n^2 h^2 / 8mL^2$), heavier particles have much closer energy levels and lower zero-point energy $E_1$.

Display CurveCurva Apresentada

ℹ️ Explicação deste seletor / controlo (clique para abrir)ℹ️ Explanation of this selector / control (click to open)

O que faz este seletor: Permite visualizar em simultâneo ou separadamente a amplitude da função de onda $\psi_n(x)$ (que tem fases $+$ e $-$) e a densidade de probabilidade de Born $|\psi_n(x)|^2$ (sempre $\ge 0$, medida experimentalmente).What this selector does: Lets you view together or separately the wavefunction amplitude $\psi_n(x)$ (which has $+$ and $-$ phases) and Born's probability density $|\psi_n(x)|^2$ (always $\ge 0$, the experimentally observed cloud).

Energy (Hartree)Energia (Hartree)

—

Energy (eV)Energia (eV)

—

Energy (kJ/mol)Energia (kJ/mol)

—

Internal Nodes (n - 1)Nós Internos (n - 1)

—

Uncertainty Δx·ΔpIncerteza Δx·Δp

—

Normalization ∫|ψ|²dxNormalização ∫|ψ|²dx

—

Lab #6 • Chapter 5 • Mode A: Exact Analytical Scattering ModelLab #6 • Capítulo 5 • Modo A: Modelo Analítico Exato de Dispersão

Lab 6 — Rectangular Barrier & Quantum Tunnelling Explorer ($R + T = 1$) Lab 6 — Explorador de Barreira Retangular e Efeito de Túnel Quântico ($R + T = 1$)

🎯 O Que Se Pretende Fazer Neste Simulador e Porquê What This Simulator Does & Why It Matters

Objetivo: Visualizar como uma onda quântica penetra numa barreira de potencial com $E < V_0$ (região proibida na física clássica!) e emerge do outro lado por Efeito de Túnel Quântico. Compare o eletrão com o protão e veja porque a espessura $a$ da barreira governa a catálise enzimática! Goal: Visualize how a quantum wave penetrates a potential barrier with $E < V_0$ (classically forbidden!) and emerges on the product side via Quantum Tunnelling. Compare the electron against the proton and see why barrier width $a$ governs enzymatic catalysis!

Particle Energy $E$ (eV)Energia da Partícula $E$ (eV)1.20 eV

ℹ️ Explicação deste seletor / controlo (clique para abrir)ℹ️ Explanation of this selector / control (click to open)

O que controla: Define a energia cinética $E$ (em $\text{eV}$) da partícula que embate contra a barreira.
O que observar: Na física clássica, se $E < V_0$ a transmissão seria exatamente $0\%$. Na mecânica quântica, aproximar $E$ do topo $V_0$ reduz o défice energético $(V_0 - E)$ e aumenta exponencialmente a probabilidade de efeito de túnel $T$.What it controls: Sets the kinetic energy $E$ (in $\text{eV}$) of the particle impinging on the barrier.
What to observe: Classically, if $E < V_0$ transmission is strictly $0\%$. Quantum mechanically, raising $E$ toward $V_0$ shrinks the energy deficit $(V_0 - E)$ and exponentially boosts the tunnelling probability $T$.

Barrier Height $V_0$ (eV)Altura da Barreira $V_0$ (eV)2.00 eV

ℹ️ Explicação deste seletor / controlo (clique para abrir)ℹ️ Explanation of this selector / control (click to open)

O que controla: Define a altura da barreira de potencial $V_0$ (em $\text{eV}$), análoga à barreira de ativação $\Delta E^\ddagger$ de uma reação química.
O que observar: Quanto mais alta for a barreira acima de $E$, maior é a constante de decaimento $\kappa = \sqrt{2m(V_0-E)}/\hbar$ dentro da parede e mais rápido a onda amortecida decai.What it controls: Sets the potential barrier height $V_0$ (in $\text{eV}$), analogous to a chemical reaction activation barrier $\Delta E^\ddagger$.
What to observe: The higher the barrier above $E$, the larger the decay constant $\kappa = \sqrt{2m(V_0-E)}/\hbar$ inside the wall and the faster the evanescent wave decays.

Barrier Width $a$ ($\text{ Å}$)Largura da Barreira $a$ ($\text{ Å}$)1.00 Å

ℹ️ Explicação deste seletor / controlo (clique para abrir)ℹ️ Explanation of this selector / control (click to open)

O que controla: Ajusta a espessura espacial $a$ (em $\text{Å}$) da barreira.
O que observar: O efeito de túnel é ultra-sensível à distância ($T \approx e^{-2\kappa a}$): reduzir a distância dador–aceitador em apenas $0.3\text{ Å}$ num centro ativo enzimático pode acelerar a transferência de hidrogénio em várias ordens de grandeza!What it controls: Adjusts the spatial width $a$ (in $\text{Å}$) of the barrier.
What to observe: Tunnelling is exponentially sensitive to distance ($T \approx e^{-2\kappa a}$): compressing the donor–acceptor distance by just $0.3\text{ Å}$ in an enzyme active site can speed up hydrogen transfer by orders of magnitude!

Particle MassMassa da Partícula

ℹ️ Explicação deste seletor / controlo (clique para abrir)ℹ️ Explanation of this selector / control (click to open)

O que faz este seletor: Escolhe a massa da partícula que atravessa a barreira (eletrão $1\,m_e$, massa leve $10\,m_e$ ou protão $1836\,m_e$).
Porquê experimentar: Como $\kappa \propto \sqrt{m}$, os eletrões fazem túnel a distâncias de $10\text{–}15\text{ Å}$ em proteínas, enquanto protões e hidretos exigem barreiras muito estreitas ($\sim 0.4\text{–}0.7\text{ Å}$).What this selector does: Selects the mass of the tunnelling particle (electron $1\,m_e$, light effective mass $10\,m_e$, or proton $1836\,m_e$).
Why experiment with it: Because $\kappa \propto \sqrt{m}$, electrons tunnel across $10\text{–}15\text{ Å}$ in proteins, whereas protons and hydrides require much narrower barriers ($\sim 0.4\text{–}0.7\text{ Å}$).

Transmission T(E)Transmissão T(E)

—

Reflection R(E)Reflexão R(E)

—

Flux Conservation (R+T)Conservação de Fluxo (R+T)

—

Decay Constant κConstante de Decaimento κ

—

Lab #7 & #9 • Chapters 6 & 8 • Mode A: Exact Analytical ModelsLab #7 e #9 • Capítulos 6 e 8 • Modo A: Modelos Analíticos Exatos

Lab 7 & 9 — Harmonic/Morse Oscillator (H/D KIE) & Hydrogenic Radial Orbital Explorer Lab 7 e 9 — Oscilador Harmónico/Morse (KIE H/D) e Explorador de Orbitais Radiais Hidrogenóides

Lab 7: Vibrational ZPVE & Primary H/D Kinetic Isotope EffectLab 7: ZPVE Vibracional e Efeito Isotópico Cinético Primário H/D

🎯 O Que Se Pretende Fazer Neste Simulador e Porquê What This Simulator Does & Why It Matters

Objetivo: Calcular a Energia de Ponto Zero (ZPVE), a transição fundamental anarmónica $\tilde{\nu}_{0\to 1}$ e o Efeito Isotópico Cinético primário $k_{\text{H}}/k_{\text{D}}$ num oscilador de Morse. Goal: Compute Zero-Point Energy (ZPVE), the anharmonic fundamental transition $\tilde{\nu}_{0\to 1}$, and the primary Kinetic Isotope Effect $k_{\text{H}}/k_{\text{D}}$ in a Morse oscillator.

$\tilde{\nu}_e\text{ (cm}^{-1})$

ℹ️ Explicação deste seletor / controlo (clique para abrir)ℹ️ Explanation of this selector / control (click to open)

O que controla: Define a frequência harmónica de equilíbrio $\tilde{\nu}_e$ (em $\text{cm}^{-1}$) do oscilador vibracional para calcular a Energia de Ponto Zero (ZPVE) e o efeito isotópico $\text{H/D}$.What it controls: Sets the equilibrium harmonic wavenumber $\tilde{\nu}_e$ (in $\text{cm}^{-1}$) of the vibrational oscillator to compute Zero-Point Energy (ZPVE) and the $\text{H/D}$ isotope effect.

Anharmonicity $x_e$Anarmonicidade $x_e$

ℹ️ Explicação deste seletor / controlo (clique para abrir)ℹ️ Explanation of this selector / control (click to open)

O que controla: Define a constante de anarmonicidade de Morse $x_e$, que aproxima os níveis vibracionais superiores e permite calcular o limite de dissociação $D_e = \tilde{\nu}_e / (4x_e)$.What it controls: Sets the Morse anharmonicity constant $x_e$, which compresses higher vibrational levels and determines the dissociation limit $D_e = \tilde{\nu}_e / (4x_e)$.

Lab 9: Hydrogen-Like Atom $E_n$, Radial/Angular Nodes & $\langle r \rangle_{nl}$Lab 9: Átomo Hidrogenóide $E_n$, Nós Radiais/Angulares e $\langle r \rangle_{nl}$

🎯 O Que Se Pretende Fazer Neste Simulador e Porquê What This Simulator Does & Why It Matters

Objetivo: Determinar a energia exata $E_n$, os nós radiais e angulares e o raio médio $\langle r \rangle_{n\ell}$ de qualquer orbital hidrogenoide. Goal: Determine the exact energy $E_n$, radial and angular nodes, and expectation radius $\langle r \rangle_{n\ell}$ of any hydrogenic orbital.

Orbital $(n, l)$

ℹ️ Explicação deste seletor / controlo (clique para abrir)ℹ️ Explanation of this selector / control (click to open)

O que faz este seletor: Seleciona a orbital hidrogenoide $(n,\ell)$ para calcular o número de nós radiais ($n-\ell-1$), nós angulares ($\ell$) e o raio médio exato $\langle r \rangle_{n\ell}$.What this selector does: Selects the hydrogenic orbital $(n,\ell)$ to compute radial nodes ($n-\ell-1$), angular nodes ($\ell$), and the exact expectation radius $\langle r \rangle_{n\ell}$.

Nuclear Charge $Z$Carga Nuclear $Z$

ℹ️ Explicação deste seletor / controlo (clique para abrir)ℹ️ Explanation of this selector / control (click to open)

O que controla: Define o número atómico $Z$ do ião hidrogenoide ($\text{H}, \text{He}^+, \text{Li}^{2+}, \dots$), mostrando como $E_n \propto -Z^2/n^2$ e $\langle r \rangle \propto 1/Z$.What it controls: Sets the nuclear charge $Z$ of the hydrogenic ion ($\text{H}, \text{He}^+, \text{Li}^{2+}, \dots$), showing how $E_n \propto -Z^2/n^2$ and $\langle r \rangle \propto 1/Z$.

Lab #13 & #14 • Chapters 12 & 13 • Mode A: Matrix Diagonalization & RHF SCFLab #13 e #14 • Capítulos 12 e 13 • Modo A: Diagonalização Matricial e RHF SCF

Lab 13 & 14 — Hückel $\pi$-System Eigensolver & Step-by-Step Roothaan–Hall RHF SCF Lab 13 e 14 — Solucionador de Sistemas $\pi$ de Hückel e Ciclo RHF SCF de Roothaan–Hall Passo a Passo

Lab 13: Hückel Molecular Orbital SolverLab 13: Solucionador de Orbitais Moleculares de Hückel

🎯 O Que Se Pretende Fazer Neste Simulador e Porquê What This Simulator Does & Why It Matters

Objetivo: Diagonalizar a matriz topológica de Hückel para sistemas $\pi$ conjugados e comparar a energia de deslocalização e o hiato HOMO–LUMO. Goal: Diagonalize the topological Hückel matrix for conjugated $\pi$-systems and compare delocalization energy and the HOMO–LUMO gap.

$\pi$-SystemSistema $\pi$

ℹ️ Explicação deste seletor / controlo (clique para abrir)ℹ️ Explanation of this selector / control (click to open)

O que faz este seletor: Escolhe o sistema conjugado $\pi$ (eteno, radical alilo, 1,3-butadieno, ciclobutadieno ou benzeno) para diagonalizar a matriz topológica de Hückel.What this selector does: Selects the conjugated $\pi$-system (ethene, allyl radical, 1,3-butadiene, cyclobutadiene, or benzene) to diagonalize the topological Hückel matrix.

Lab 14: Step-by-Step STO-3G RHF SCF ($\mathbf{F}\mathbf{C} = \mathbf{S}\mathbf{C}\boldsymbol{\varepsilon}$)Lab 14: RHF SCF STO-3G Passo a Passo ($\mathbf{F}\mathbf{C} = \mathbf{S}\mathbf{C}\boldsymbol{\varepsilon}$)

🎯 O Que Se Pretende Fazer Neste Simulador e Porquê What This Simulator Does & Why It Matters

Objetivo: Inspecionar as matrizes $\mathbf{S}$, $\mathbf{H}^{\text{core}}$, $\mathbf{F}$ e $\mathbf{P}$ convergidas num cálculo Hartree–Fock–Roothaan de 2 eletrões em base mínima. Goal: Inspect the converged $\mathbf{S}$, $\mathbf{H}^{\text{core}}$, $\mathbf{F}$, and $\mathbf{P}$ matrices in a minimal-basis 2-electron Hartree–Fock–Roothaan calculation.

2-Electron System (Minimal STO-3G Basis)Sistema de 2 Eletrões (Base Mínima STO-3G)

ℹ️ Explicação deste seletor / controlo (clique para abrir)ℹ️ Explanation of this selector / control (click to open)

O que faz este seletor: Alterna entre $\text{H}_2$ e $\text{HeH}^+$ na base mínima $\text{STO-3G}$ para acompanhar passo a passo as matrizes $\mathbf{S}$, $\mathbf{H}^{\text{core}}$, $\mathbf{F}$ e $\mathbf{P}$ do ciclo autoconsistente de Roothaan–Hall.What this selector does: Switches between $\text{H}_2$ and $\text{HeH}^+$ in the minimal $\text{STO-3G}$ basis to inspect the $\mathbf{S}$, $\mathbf{H}^{\text{core}}$, $\mathbf{F}$, and $\mathbf{P}$ matrices of the Roothaan–Hall SCF cycle.

Complete Registry of All 24 Planned Quantum Laboratories Registo Completo dos 24 Laboratórios Quânticos do Curso

Full specification of mathematical models, units, valid ranges, computation modes, and chapter links for all 24 laboratories: Especificação completa dos modelos matemáticos, unidades, intervalos de validade, modos de computação e ligações aos capítulos para todos os 24 laboratórios:

Lab #	Laboratory TitleTítulo do Laboratório	ChapterCapítulo	ModeModo	Mathematical ModelModelo Matemático	Units & Valid RangeUnidades e Intervalo Válido